Soal dan Pembahasan Matriks Problem (1-15)

Soal dan Pembahasan Matriks Problem (1-15)

---

Hai, kali ini kuyAmbis akan membagikan Soal dan Pembahasan Matriks Problem (1-15) untuk persiapan ulangan harian, ulangan akhir, SBMPTN, UTBK, SIMAK UI, TPS, dan TKA.

• Problem 1
• Problem 2
• Problem 3
• Problem 4
• Problem 5
• Problem 6
• Problem 7
• Problem 8
• Problem 1
• Problem 1
• Problem 1
• Problem 1
• Problem 1
• Problem 1
• Problem 1

Silahkan download versi PDF di sini (hanya soal) BELUM TERSEDIA

Problem 1

Jika \(\displaystyle A = \begin{bmatrix}a & b\\b & x\end{bmatrix}\) dan \(\displaystyle B = \begin{bmatrix}bx & a\\b & x\end{bmatrix}\), maka jumlah kuadrat semua akar persamaan \(|A| = |B|\) adalah ...

1. \(\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^2 - 2(a - b)\)
2. \(\displaystyle \left(\frac{b}{a}\right)^2 - 2(a - b)\)
3. \(\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^2 - 2(b - a)\)
4. \(\displaystyle \left(\frac{b}{a}\right)^2 - 2(b - a)\)
5. \(\displaystyle \frac{a}{b} - 2(a - b)\)

Pembahasan

Bagi yang menggunakan smartphone, jika persamaan terpotong, bisa dilihat dengan cara swap ke kiri. Terima kasih :)

\begin{align*} |A| &= |B|\\ ax - b^2 &= bx^2 - ab\\ bx^2 - ax + (b^2 - ab) &= 0 \end{align*}

Dari persamaan kuadrat di atas diperoleh, \(\displaystyle x_1 + x_2 = \frac{a}{b}\) dan \(\displaystyle x_1x_2 = \frac{b^2 - ab}{b} = b - a\) Jumlah kuadrat akar-akar sama dengan \(x_1^2 + x_2^2\).

\begin{align*} x_1^2 + x_2^2 &= (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\\ &= \left(\frac{a}{b}\right)^2 - 2(b - a) \tag{Jawaban: c} \end{align*}

Problem 2

Jika \(\displaystyle A = \begin{bmatrix}1 & 2\\1 & 3\end{bmatrix}\), \(\displaystyle B = \begin{bmatrix}4 & 1\\1 & 3\end{bmatrix}\) dan matriks \(C\) memenuhi \(AC = B\), maka \(|C| = \) ...

1. \(1\)
2. \(6\)
3. \(9\)
4. \(11\)
5. \(12\)

Pembahasan

Bagi yang menggunakan smartphone, jika persamaan terpotong, bisa dilihat dengan cara swap ke kiri. Terima kasih :)

\begin{align*} AC &= B\\ |AC| &= |B|\\ |A||C| &= |B|\\ |C| &= \frac{|B|}{|A|}\\ &=\frac{12 - 1}{3 -2}\\ &=\frac{11}{1}\\ &= 11 \tag{Jawaban: d} \end{align*}

Problem 3

Jika \(\displaystyle A = \begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}\) dan \(\displaystyle I = \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\), maka \(A^2 - 6A + 3I = \) ...

1. \(\displaystyle -8A\)
2. \(\displaystyle -10A\)
3. \(\displaystyle 2A\)
4. \(\displaystyle 4A\)
5. \(\displaystyle 10A\)

Pembahasan

Bagi yang menggunakan smartphone, jika persamaan terpotong, bisa dilihat dengan cara swap ke kiri. Terima kasih :)

\begin{align*} A^2 - 6A + 3I &= \begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix} - 6\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix}1+0 & 0 + 0\\ 0 + 0 & 0 + 1\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}6 & 0\\ 0 & 6\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}3 & 0\\ 0 & 3\end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix}1 + 6 + 3 & 0\\ 0 & 1 + 6 + 3\end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix}10 & 0\\ 0 & 10\end{bmatrix}\\ &= -10\begin{bmatrix}-1 & 0\\ 0 & -1\end{bmatrix}\\ &= -10A \tag{Jawaban: b} \end{align*}

Problem 4

Diketahui matriks \(A = (a_{ij})\), yaitu

\begin{align*} a_{ij} = \begin{cases}i + j, \text{ jika } i > j \\ 2i - j, \text{ jika } i = j \\ 3i + 2j, \text{ jika } i < j \end{cases} \end{align*}

dengan \(i = 1, 2, 3, 4, 5\) dan \(j = 1, 2, 3, 4\). Ordo matriks \(A\) adalah ...

1. \(\displaystyle 3\times4\)
2. \(\displaystyle 4\times4\)
3. \(\displaystyle 4\times5\)
4. \(\displaystyle 5\times4\)
5. \(\displaystyle 5\times5\)

Pembahasan

Bagi yang menggunakan smartphone, jika persamaan terpotong, bisa dilihat dengan cara swap ke kiri. Terima kasih :)

Ordo adalah baris \(\times\) kolom. Dalam kasus ini barisnya sama dengan banyak \(i\), yaitu 5 dan kolomnya sama dengan banyak \(j\), yaitu 4. Maka dapat disimpulkan ordo matriks \(A\) adalah \(5\times4\).
Jawaban: d

Problem 5

Diketahui matriks \(\displaystyle P = \begin{bmatrix}-2 & 1 \\ 1 & 3\end{bmatrix}\), \(Q = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 3 & -1\end{bmatrix}\), \(R = \begin{bmatrix}2 & -1 \\ 1 & -2\end{bmatrix}\), dan \(\displaystyle S = \begin{bmatrix}3 & -1 \\ -1 & 3\end{bmatrix}\). Matriks yang simetris adalah...

1. \(\displaystyle \text{hanya } P \text{ dan } Q\)
2. \(\displaystyle \text{hanya } P \text{ dan } S\)
3. \(\displaystyle \text{hanya } Q \text{ dan } S\)
4. \(\displaystyle \text{hanya } R\)
5. \(\displaystyle \text{hanya } S\)

Pembahasan

Bagi yang menggunakan smartphone, jika persamaan terpotong, bisa dilihat dengan cara swap ke kiri. Terima kasih :)

Jika ada matriks \(A\), maka matriks \(A\) akan dikatakan simetris jika \(A = A^T\), di mana \(A^T\) adalah transpos dari matriks \(A\).

\begin{align*} P^T &= \begin{bmatrix}-2 & 1 \\ 1 & 3\end{bmatrix} = P\\ Q^T &= \begin{bmatrix}1 & 3 \\ -2 & 1\end{bmatrix} \neq Q\\ R^T &= \begin{bmatrix}2 & 1 \\ -1 & -2\end{bmatrix} \neq R\\ S^T &= \begin{bmatrix}3 & -1 \\ -1 & 3\end{bmatrix} = S \end{align*}

Jadi, matriks yang simetris adalah hanya \(P\) dan \(S\).
Jawaban: b

Problem 6

Jika matriks \(\displaystyle P=\begin{bmatrix} 1 & 2\\ 3 & 2 \end{bmatrix}\) dan \(\displaystyle I\) matriks identitas yang berordo sama dengan \(\displaystyle P\) maka hasil kali akar persamaan det \(\displaystyle ( P-xI) =0\) adalah ...

1. \(\displaystyle -6\)
2. \(\displaystyle -4\)
3. \(\displaystyle -3\)
4. \(\displaystyle 3\)
5. \(\displaystyle 4\)

Pembahasan

Bagi yang menggunakan smartphone, jika persamaan terpotong, bisa dilihat dengan cara swap ke kiri. Terima kasih :)

\begin{align*} |P-xI| & =0\\ \left| \begin{matrix} 1-x & 2\\ 3 & 2-x \end{matrix}\right| & =0\\ ( 1-x)( 2-x) -6 & =0\\ x^{2} -3x+2-6 & =0\\ x^{2} -3x-4 & =0 \end{align*}

Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat di atas adalah \(\displaystyle \frac{c}{a} =\frac{-4}{1} =\textcolor[rgb]{0.82,0.01,0.11}{-4}\)
Jawaban: b

Problem 7

Jika matriks \(\displaystyle P=\begin{bmatrix} 3 & 1\\ 4 & 2 \end{bmatrix}\) dan \(\displaystyle Q=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ -2 & 3 \end{bmatrix}\) serta \(\displaystyle P^{-1}\) invers matriks \(\displaystyle P\), maka determinan untuk matriks \(\displaystyle QP^{-1}\) adalah ...

1. \(\displaystyle \frac{3}{2}\)
2. \(\displaystyle 3\)
3. \(\displaystyle 6\)
4. \(\displaystyle \frac{19}{3}\)
5. \(\displaystyle 19\)

Pembahasan

Bagi yang menggunakan smartphone, jika persamaan terpotong, bisa dilihat dengan cara swap ke kiri. Terima kasih :)

\begin{align*} \left| QP^{-1}\right| & =| Q| | P^{-1}| \\ & =\frac{|Q|}{|P|}\\ & =\frac{3}{2}\tag{Jawaban: a} \end{align*}

Problem 8

Nilai semua \(\displaystyle x\) sehingga matriks \(\displaystyle \begin{bmatrix} \sqrt{x^{2} -1} & 1\\ x & 2 \end{bmatrix}\) mempunyai invers adalah ...

1. \(\displaystyle x\neq -\frac{4}{3}\) dan \(\displaystyle x\neq \frac{4}{3}\)
2. \(\displaystyle x\neq -\sqrt{\frac{4}{3}}\) dan \(\displaystyle x\neq \sqrt{\frac{4}{3}}\)
3. \(\displaystyle \sqrt{\frac{4}{3}} < x\leq -1\) atau \(\displaystyle 1\leq x < \sqrt{\frac{4}{3}}\)
4. \(\displaystyle -\sqrt{\frac{4}{3}} < x\leq -1\) atau \(\displaystyle 1\leq x < \sqrt{\frac{4}{3}}\)
5. \(\displaystyle x< −\sqrt{\frac{4}{3}}\) atau \(\displaystyle -\sqrt{\frac{4}{3}} < x\leq -1\) atau \(\displaystyle 1\leq x < \sqrt{\frac{4}{3}}\) atau \(\displaystyle x > \sqrt{\frac{4}{3}}\)

Pembahasan

Bagi yang menggunakan smartphone, jika persamaan terpotong, bisa dilihat dengan cara swap ke kiri. Terima kasih :)

Syarat suatu matriks mempunyai invers adalah determinannya \(\displaystyle \neq 0\), maka

\begin{align*} 2\sqrt{x^{2} -1} -x & \neq 0\\ 2\sqrt{x^{2} -1} & \neq x\\ 4\left( x^{2} -1\right) & \neq x^{2}\\ 4x^{2} -x^{2} &\neq 4\\ 3x^{2} & \neq 4\\ x^{2} & \neq \frac{4}{3}\\ x &\neq \pm \sqrt{\frac{4}{3}} \end{align*}

Syarat kedua,

\begin{align*} x^{2} -1 & \geq 0\\ x^{2} & \geq 1 \end{align*}

Daerah penyelesaian gabungan,

\begin{align*} x< −\sqrt{\frac{4}{3}} \ \lor \ -\sqrt{\frac{4}{3}} < x\leq -1\ \lor \ 1\leq x < \sqrt{\frac{4}{3}} \ \lor \ x >\sqrt{\frac{4}{3}}\tag{Jawaban: e} \end{align*}